Consejos útiles

Ecuaciones de diofantina

Desigualdades algebraicas o sus sistemas con coeficientes racionales cuyas soluciones se buscan en números enteros o enteros. Como regla, el número de incógnitas en las ecuaciones de diofantina es mayor. Por lo tanto, también se conocen como desigualdades vagas. En las matemáticas modernas, el concepto anterior se aplica a las ecuaciones algebraicas cuyas soluciones se buscan en enteros algebraicos de alguna extensión del campo de variables Q-racionales, el campo de las p-adic, etc.

Los orígenes de estas desigualdades.

El estudio de las ecuaciones de Diophantus se encuentra en el límite entre la teoría de números y la geometría algebraica. Encontrar soluciones en variables enteras es uno de los problemas matemáticos más antiguos. Ya a principios del segundo milenio antes de Cristo. Los antiguos babilonios lograron resolver sistemas de ecuaciones con dos incógnitas. Esta rama de las matemáticas floreció más en la antigua Grecia. La aritmética de Diophantus (aproximadamente, siglo III d. C.) es una fuente importante y principal, que contiene varios tipos y sistemas de ecuaciones.

En este libro, Diophantus previó una serie de métodos para estudiar las desigualdades de segundo y tercer grado, que se desarrollaron completamente en el siglo XIX. La creación de la teoría de los números racionales por este investigador de la Antigua Grecia condujo a un análisis de las soluciones lógicas de los sistemas indefinidos, que se acompañan sistemáticamente en su libro. A pesar de que su trabajo contiene soluciones de ecuaciones específicas de diofantina, hay razones para creer que también estaba familiarizado con varios métodos generales.

El estudio de estas desigualdades generalmente se asocia con serias dificultades. Debido al hecho de que contienen polinomios con coeficientes enteros F (x, y1, ..., yn) En base a esto, se concluyó que no existe un algoritmo único con el cual sería posible determinar para cualquier x dado si la ecuación F (x, y1, ...., Yn) La situación es decidible para y1, ..., yn. Se pueden escribir ejemplos de tales polinomios.

Desigualdad simple

ax + by = 1, donde a y b son relativamente enteros y primos, hay una gran cantidad de ejecuciones para ello (si x0, y0 formó el resultado, luego un par de variables x = x0 + bn y y = y0 -an, donde n es arbitrario, también se considerará que cumple la desigualdad). Otro ejemplo de ecuaciones diofantinas es x 2 + y 2 = z 2. Las soluciones integrales positivas de esta desigualdad son las longitudes de los lados pequeños x, y y triángulos rectángulos, así como las hipotenusas z con dimensiones laterales enteras. Estos números se conocen como números pitagóricos. Todos los tripletes con respecto a las variables simples indicadas anteriormente están dados por las fórmulas x = m 2 - n 2, y = 2mn, z = m 2 + n 2, donde myn son enteros y números primos (m> n> 0).

Diophantus en su "Aritmética" se dedica a la búsqueda de soluciones racionales (no necesariamente integrales) de tipos especiales de sus desigualdades. La teoría general de resolver ecuaciones de diofantina de primer grado fue desarrollada por K. G. Bashet en el siglo XVII. Otros científicos a principios del siglo XIX estudiaron principalmente desigualdades similares como ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0, donde a, b, c, d, e y f son generales, heterogéneas, con dos incógnitas de segundo grado. . Lagrange utilizó fracciones continuas en su estudio. Para las formas cuadráticas, Gauss desarrolló la teoría general subyacente a la solución de ciertos tipos.

En los estudios de estas desigualdades de segundo grado, solo se lograron éxitos significativos en el siglo XX. A. Thue descubrió que la ecuación de Diofantina a0x n + a1x n-1 y + ... + any n = c, donde n≥3, a0, ..., unn, c son enteros y a0t n + ... + an no puede tener un número infinito de soluciones enteras. Sin embargo, el método Thue no se desarrolló adecuadamente. A. Baker creó teoremas efectivos que dan estimaciones sobre el cumplimiento de ciertas ecuaciones de este tipo. B. N. Delone propuso otro método de investigación aplicable a una clase más estrecha de estas desigualdades. En particular, la forma ax 3 + y 3 = 1 es completamente solucionable de esta manera.

Ecuaciones de diofantina: métodos de solución

La teoría de Diophantus tiene muchas direcciones. Por lo tanto, el problema bien conocido en este sistema es la hipótesis según la cual no existe una solución no trivial de las ecuaciones de Diophantine x n + y n = z n si n ≥ 3 (pregunta de Fermat). El estudio de las desigualdades de enteros es una generalización natural del problema de los trillizos pitagóricos. Euler obtuvo una solución positiva al problema de Fermat para n = 4. En virtud de este resultado, se relaciona con la prueba de enteros faltantes, estudios distintos de cero de la ecuación si n es un primo impar.

El estudio sobre la solución no se completó. Las dificultades con su implementación están relacionadas con el hecho de que la factorización simple en un anillo de enteros algebraicos no es única. La teoría del divisor en este sistema para muchas clases de exponentes simples n nos permite confirmar la validez del teorema de Fermat. Por lo tanto, utilizando los métodos y métodos existentes, se satisface una ecuación lineal de diofantina con dos incógnitas.

Tipos y tipos de tareas descritas.

La aritmética de anillos de enteros algebraicos también se usa en muchos otros problemas y soluciones de ecuaciones diofantinas. Por ejemplo, dichos métodos se aplicaron al satisfacer las desigualdades de la forma N (a1 x1 + ... + anxn) = m, donde N (a) es la norma de a, yx1, ..., xn Se encuentran variables racionales integrales. Esta clase incluye la ecuación de Pell x 2– dy 2 = 1.

Valores A1, …, unn que aparecen, estas ecuaciones se dividen en dos tipos. El primer tipo, las llamadas formas completas, incluye ecuaciones en las que entre a hay m números linealmente independientes sobre el campo de variables racionales Q, donde m = [Q (a1, ..., unn): Q], en el que hay un grado de exponentes algebraicos Q (a1, ..., an) sobre Q. Las especies incompletas son aquellas en las que el número máximo ayo menos de m.

Los formularios completos son más simples, se completa su investigación y se pueden describir todas las soluciones. El segundo tipo, especies incompletas, es más complicado y el desarrollo de dicha teoría aún no se ha completado. Dichas ecuaciones se estudian utilizando aproximaciones de diofantina, que incluyen la desigualdad F (x, y) = C, donde F (x, y) - un polinomio de grado n≥3 es irreducible, homogéneo. Por lo tanto, podemos suponer que yyo∞. En consecuencia, si yyo lo suficientemente grande, entonces la desigualdad contradecirá el teorema de Thue, Siegel y Roth, del cual se deduce que F (x, y) = C, donde F es una forma de tercer grado o superior, una irreducible no puede tener un número infinito de soluciones.

¿Cómo resolver la ecuación diofantina?

Este ejemplo es una clase bastante estrecha entre todos. Por ejemplo, a pesar de su simplicidad, x 3 + y 3 + z 3 = N, y también x 2 + y 2 + z 2 + u 2 = N no están incluidos en esta clase. El estudio de soluciones es una rama bastante investigada de ecuaciones diofantinas, donde la base está representada por formas cuadráticas de números. Lagrange creó un teorema que establece que el cumplimiento existe para todos los N. naturales. Cualquier número natural puede representarse como la suma de tres cuadrados (teorema de Gauss), pero no debe tener la forma 4 a (8K-1), donde a y k no son negativos Indicadores completos.

Soluciones racionales o integrales de un sistema de una ecuación diofantina de tipo F (x1, ..., xn) = a, donde F (x1, ..., xn) es una forma cuadrática con coeficientes enteros. Así, según el teorema de Minkowski-Hasse, la desigualdad ∑aijxyoxj = b donde aij yb es racional, tiene una solución integral en números reales y p-adic para cada primo p solo cuando es solucionable en esta estructura.

Debido a las dificultades inherentes, el estudio de números con formas arbitrarias de tercer grado y superiores ha sido menos estudiado. El principal método de implementación es el método de sumas trigonométricas. En este caso, el número de soluciones de la ecuación se escribe explícitamente en términos de la integral de Fourier. Después de eso, el método del entorno se usa para expresar la cantidad de desigualdad de las congruencias correspondientes. El método de sumas trigonométricas depende de las características algebraicas de las desigualdades. Hay una gran cantidad de métodos elementales para resolver ecuaciones lineales de diofantina.

Análisis de diofantina

Departamento de Matemáticas, cuyo tema es el estudio de soluciones integrales y racionales de sistemas de ecuaciones de álgebra por métodos de geometría, desde la misma esfera. En la segunda mitad del siglo XIX, la aparición de esta teoría numérica condujo al estudio de las ecuaciones de Diophantus a partir de un campo arbitrario con coeficientes, y las soluciones se consideraron en él o en sus anillos. El sistema de funciones algebraicas se desarrolló en paralelo con los números. La analogía básica entre los dos, que fue enfatizada por D. Hilbert y, en particular, L. Kronecker, condujo a la construcción uniforme de varios conceptos aritméticos, que generalmente se llaman globales.

Esto es especialmente notable si las funciones algebraicas estudiadas sobre un campo finito de constantes son una variable. Conceptos como la teoría de campo de clase, un divisor y también la ramificación y los resultados son una buena ilustración de lo anterior. Este punto de vista fue adoptado en el sistema de desigualdades diofantinas solo más tarde, y un estudio sistemático no solo con valores numéricos, sino también con coeficientes, que son funciones, comenzó solo en la década de 1950. Uno de los factores decisivos en este enfoque fue el desarrollo de la geometría algebraica. El estudio simultáneo de los campos de números y funciones que surgen como dos lados igualmente importantes del mismo tema no solo dio resultados elegantes y convincentes, sino que condujo al enriquecimiento mutuo de los dos temas.

En geometría algebraica, el concepto de variedad se reemplaza por un conjunto no desigual de desigualdades sobre un campo K dado, y sus soluciones se reemplazan por puntos racionales con valores en K o en su extensión finita. Podemos decir, en consecuencia, que el problema fundamental de la geometría diofantina es estudiar los puntos racionales del conjunto algebraico X (K), mientras que X son ciertos números en el campo K. La ejecución de enteros tiene un significado geométrico en ecuaciones lineales de diofantina.

Estudios de desigualdad y opciones

Al estudiar puntos racionales (o integrales) sobre variedades algebraicas, surge el primer problema, que consiste en su existencia. La décima tarea de Hilbert se formula como el problema de encontrar un método general para resolver este problema. En el proceso de creación de una definición exacta del algoritmo y después de que se demostró que no existen tales ejecuciones para una gran cantidad de problemas, el problema adquirió un resultado negativo obvio, y la pregunta más interesante es la determinación de las clases de ecuaciones de Diophantine para las que existe el sistema anterior. El enfoque más natural, desde un punto de vista algebraico, es el llamado principio de Hasse: el campo inicial K se estudia junto con sus terminaciones Kv por todas las estimaciones posibles. Dado que X (K) = X (Kv) son una condición necesaria para la existencia, y el punto K tiene en cuenta que el conjunto X (Kv) no están vacíos para todos v.

La importancia es que trae dos problemas juntos. El segundo es mucho más simple; se puede resolver mediante un algoritmo bien conocido. En el caso particular cuando la variedad X es proyectiva, el lema de Hansel y sus generalizaciones hacen posible una mayor reducción: el problema puede reducirse al estudio de puntos racionales sobre un campo finito. Luego decide construir un concepto ya sea a través de una investigación consistente o por métodos más efectivos.

La última consideración importante es que los conjuntos X (Kv) no están vacíos para todos los v excepto para un número finito, por lo que el número de condiciones siempre es finito y se pueden verificar de manera efectiva. Sin embargo, el principio de Hasse no es aplicable a las curvas de grado. Por ejemplo, 3x 3 + 4y 3 = 5 tiene puntos en todos los campos de números p-adic y en un sistema de números reales, pero no tiene puntos racionales.

Este método sirvió como punto de partida para construir un concepto que describa las clases de espacios homogéneos principales de variedades abelianas para realizar una "desviación" del principio de Hasse. Se describe en términos de una estructura especial que puede asociarse con cada variedad (grupo Tate-Shafarevich). La principal dificultad de la teoría es que los métodos para calcular grupos son difíciles de obtener. Este concepto también se ha extendido a otras clases de variedades algebraicas.

Buscar un algoritmo de cumplimiento de desigualdad

Otra idea heurística utilizada en el estudio de las ecuaciones de Diophantine es que si el número de variables involucradas en el conjunto de desigualdades es grande, entonces el sistema generalmente tiene una solución. Sin embargo, es muy difícil de probar para un caso particular. Un enfoque general de los problemas de este tipo utiliza la teoría analítica de números y se basa en estimaciones de sumas trigonométricas. Este método se aplicó originalmente a tipos especiales de ecuaciones.

Sin embargo, posteriormente se demostró con su ayuda que si la forma de un grado impar es F, en variables d y n y con coeficientes racionales, entonces n es lo suficientemente grande en comparación con d, por lo que la hiperesuperficie proyectiva F = 0 tiene un punto racional. Artin, este resultado es cierto incluso si n> d 2. Esto se prueba solo para formas cuadráticas. Se pueden plantear problemas similares para otros campos. El problema central de la geometría diofantina es la estructura del conjunto de puntos enteros o racionales y su estudio, y la primera pregunta que debe aclararse es si este conjunto es finito. En este problema, una situación generalmente tiene un número finito de ejecuciones si el grado del sistema es mucho mayor que el número de variables. Esta es la suposición principal.

Desigualdades en líneas y curvas

El grupo X (K) puede representarse como una suma directa de una estructura libre de rango r y un grupo finito de orden n. Desde la década de 1930, se ha estudiado la cuestión de si estos números están delimitados en el conjunto de todas las curvas elípticas sobre un campo K. La delimitación de torsión n se demostró en los años setenta. Hay curvas de alto rango arbitrario en el caso funcional. En el caso numérico, todavía no hay respuesta a esta pregunta.

Finalmente, la hipótesis de Mordell establece que el número de puntos integrales es finito para una curva del género g> 1. En un caso funcional, Yu. I. Manin demostró este concepto en 1963. La herramienta principal utilizada para probar los teoremas de finitud en geometría diofantina es la altura. De las variedades algebraicas de dimensión superior a una, las variedades abelianas, que son análogos multidimensionales de curvas elípticas, se han estudiado más a fondo.

A. Weil generalizó el teorema sobre la finitud del número de generadores de un grupo de puntos racionales sobre variedades abelianas de cualquier dimensión (concepto de Mordell-Weil), extendiéndolo. En la década de 1960, aparecieron las hipótesis de Birch y Swinnerton-Dyer que mejoraron este grupo y las funciones zeta de múltiples. La evidencia numérica respalda esta hipótesis.

Problema de solubilidad

El problema de encontrar un algoritmo con el que pueda determinar si alguna ecuación de diofantina tiene una solución. Una característica esencial de la tarea es la búsqueda de un método universal que sea adecuado para cualquier desigualdad. Tal método también permitiría resolver los sistemas anteriores, ya que es equivalente a P21 + ⋯ + P2k = 0. n1 = 0 ,. , PK = 0n = 0. nK = 0 o n21 + ⋯ + P2K = 0. n12 + ⋯ + nK2 = 0. D. planteó el problema de encontrar un método tan universal para encontrar soluciones para desigualdades lineales en enteros. Hilbert

A principios de la década de 1950, aparecieron los primeros estudios destinados a demostrar la inexistencia de un algoritmo para resolver ecuaciones de diofantina. En este momento, apareció la hipótesis de Davis, que afirmaba que cualquier conjunto enumerado también pertenece al científico griego. Dado que se conocen ejemplos de conjuntos algorítmicamente insolubles, pero son recursivamente enumerables. De ello se deduce que la hipótesis de Davis es cierta y el problema de solvencia para estas ecuaciones tiene un cumplimiento negativo.

Después de esto, para la hipótesis de Davis, queda por demostrar que existe un método para transformar la desigualdad que también (o no tenía) al mismo tiempo una solución. Se demostró que tal cambio en la ecuación de diofantina es posible si tiene las dos propiedades indicadas: 1) en cualquier solución de este tipo vuu , 2) para cualquier k Hay un rendimiento en el que hay un crecimiento exponencial.

Un ejemplo de una ecuación lineal de diofantina de esta clase completó la prueba. El problema de la existencia de un algoritmo de solución y reconocimiento en números racionales de estas desigualdades todavía se considera una pregunta importante y abierta, que no se ha estudiado suficientemente.

Quien es Diophantus?

Incluso los antiguos egipcios, por la conveniencia del razonamiento, idearon una palabra especial que denota un número desconocido, pero en ese momento no había signos de acción y un signo igual, por lo tanto, no podían escribir ecuaciones.

El primero a quien se le ocurrió cómo escribir la ecuación fue el notable científico Diophantus de Alejandría. Alejandría era un gran centro cultural, comercial y científico del mundo antiguo. Esta ciudad existe ahora, se encuentra en la costa mediterránea de Egipto.

Жил Диофант, по-видимому, в III веке н.э. и был последним великим математиком античности. До нас дошли два его сочинения — «Арифметика» (из тринадцати книг сохранилось шесть) и «О многоугольных числах» (в отрывках). Творчество Диофанта оказало большое влияние на развитие алгебры, математического анализа и теории чисел.

А ведь вы знаете кое-что о диофантовых уравнениях…

Диофантовы уравнения знают все! Это задачки для учеников младших классов, которые решаются подбором.

” Например, «сколькими различными способами можно расплатиться за мороженое ценой 96 копеек, если у вас есть только копейки и пятикопеечные монеты?»

Если дать диофантовому уравнению общее определение, то можно сказать, что это алгебраическое уравнение с дополнительным условием: все его решения должны быть целыми числами (а в общем случае и рациональными).

“A menudo, las madres (especialmente aquellas que se graduaron de la escuela secundaria bajo el socialismo desarrollado) creen que el objetivo principal de tales tareas es enseñar a los niños a pagar un poco por el helado. Y ahora, cuando están sinceramente convencidos de que el desarrollo de pequeñas cosas en montones permanece en el pasado, su estudiante favorito de séptimo grado (u octavo grado) tiene una pregunta inesperada: "Mamá, ¿cómo resolver esto?", Y presenta una ecuación con dos variables. Anteriormente, no había tales problemas en el curso escolar (todos recordamos que debería haber tantas ecuaciones como variables), por lo que la madre de un no matemático a menudo cae en un estupor. ¡Pero esta es la misma tarea sobre un poco y un helado, solo registrado de manera general!

Por cierto, ¿por qué volvió de repente a ella en séptimo grado? Todo es simple: el objetivo de estudiar las ecuaciones de Diophantine es dar los fundamentos de la teoría de los enteros, que se desarrolla aún más en matemáticas y en informática y programación. Las ecuaciones de diofantina a menudo se encuentran entre las tareas de la Parte "C" del examen de estado unificado. La dificultad, en primer lugar, es que existen muchos métodos de solución, entre los cuales el graduado debe elegir el correcto. Sin embargo, las ecuaciones lineales de Diofantina ax + by = c pueden resolverse con relativa facilidad utilizando algoritmos especiales.

Algoritmos para resolver ecuaciones diofantinas

- El estudio de las ecuaciones de diofantina comienza en un curso avanzado de álgebra desde el grado 7. En el libro de texto Yu.N. Makarycheva, N.G. Mindyuk algunos problemas y ecuaciones que se resuelven usando Algoritmo euclidiano y método de fuerza bruta residual, - dice Aelita Bekesheva. - Más tarde, en los grados 8 a 9, cuando ya estamos considerando ecuaciones en enteros de orden superior, mostramos a los estudiantes método de factorización, y un análisis más detallado de la solución a esta ecuación, método de evaluación. Conocido con método de selección cuadrada completa. Al estudiar las propiedades de los números primos, presentamos el pequeño teorema de Fermat, uno de los teoremas fundamentales en la teoría de soluciones de ecuaciones en enteros. En un nivel superior, este conocido continúa en los grados 10-11. Al mismo tiempo, llevamos a los muchachos a estudiar y aplicar la teoría de las "comparaciones de módulos", resolver los algoritmos que encontramos en los grados 7-9. Muy bien, este material se detalla en el libro de texto de A.G. Mordkovich "Álgebra y el comienzo del análisis, Grado 10" y G.V. Dorofeeva "Matemáticas" para el 10º grado.

Algoritmo Euclidiano

El propio método euclidiano se relaciona con otro problema matemático: encontrar el factor común más grande: en lugar del par de números original, se escribe un nuevo par: un número más pequeño y la diferencia entre un número más pequeño y más grande del par original. Esta acción continúa hasta que los números en el par se igualen; este será el factor común más grande. También se usa una variación del algoritmo para resolver ecuaciones de diofantina; ahora junto con Yuri Shanko Demostremos con el ejemplo cómo resolver problemas "sobre monedas".

- Consideramos la ecuación lineal de diofantina ax + by = c, donde a, b, c, x e y son enteros. Como puede ver, una ecuación contiene dos variables. Pero, como recordará, solo necesitamos raíces enteras, lo que simplifica la cuestión: se pueden encontrar pares de números para los que la ecuación es verdadera.

Sin embargo, las ecuaciones de diofantina no siempre tienen soluciones. Ejemplo: 4x + 14y = 5. No hay soluciones, porque en el lado izquierdo de la ecuación, para todos los enteros x e y, se obtendrá un número par, y 5 es un número impar. Este ejemplo puede ser generalizado. Si en la ecuación ax + by = c los coeficientes a y b son divisibles por algún número entero d, y el número c no es divisible por este d, entonces la ecuación no tiene soluciones. Por otro lado, si todos los coeficientes (a, byc) son divisibles por d, entonces esta ecuación se puede dividir por d.

Por ejemplo, en la ecuación 4x + 14y = 8, todos los coeficientes se dividen entre 2. Divida la ecuación por este número y obtenga: 2𝑥 + 7𝑦 = 4. Esta técnica (dividir la ecuación por algún número) a veces puede simplificar los cálculos.

Vayamos ahora del otro lado. Suponga que uno de los coeficientes en el lado izquierdo de la ecuación (aob) es 1. Entonces nuestra ecuación ya está prácticamente resuelta. De hecho, supongamos, por ejemplo, a = 1, entonces podemos tomar cualquier número entero como y, y x = c - por. Si aprendemos cómo reducir la ecuación original a una ecuación en la que uno de los coeficientes es 1, ¡entonces aprenderemos a resolver cualquier ecuación lineal de diofantina!

Mostraré esto usando el ejemplo de la ecuación 2x ​​+ 7y = 4.

Se puede reescribir de la siguiente manera: 2 (x + 3y) + y = 4.

Introducimos un nuevo desconocido z = x + 3y, luego la ecuación se escribe de la siguiente manera: 2z + y = 4.

¡Tenemos una ecuación con un coeficiente de uno! Entonces z es cualquier número, y = 4 - 2z.

Queda por encontrar x: x = z - 3y = z - 3 (4 - 2z) = 7z - 12.

"En este ejemplo, es importante comprender cómo pasamos de una ecuación con los coeficientes 2 y 7 a una ecuación con los coeficientes 2 y 1. En este caso (¡y siempre!) El nuevo coeficiente (en este caso, uno) es el resto de dividir los coeficientes originales por amigo (7 sobre 2).

En este ejemplo, tuvimos suerte, inmediatamente después del primer reemplazo recibimos una ecuación con un coeficiente de 1. Esto no siempre sucede, pero podemos repetir el truco anterior, introducir nuevas incógnitas y escribir nuevas ecuaciones. Tarde o temprano, después de tales reemplazos, resultará una ecuación con un coeficiente de 1.

Intentemos resolver una ecuación más compleja, sugiere Aelita Bekesheva.

Considere la ecuación 13x - 36y = 2.

Paso # 1

36/13 = 2 (10 en balance). Por lo tanto, la ecuación original se puede reescribir de la siguiente manera: 13x-13 * 2y-10y = 2. Conviértalo: 13 (x-2y) -10y = 2. Introducimos la nueva variable z = x-2y. Ahora tenemos la ecuación: 13z-10y = 2.

Paso número 2

13/10 = 1 (3 en el resto). La ecuación original 13z-10y = 2 puede reescribirse de la siguiente manera: 10z-10y + 3z = 2. Conviértalo: 10 (z-y) + 3z = 2. Introducimos la nueva variable m = z-y. Ahora tenemos la ecuación: 10m + 3z = 2.

Paso número 3

10/3 = 3 (1 en el resto). La ecuación original 10m + 3z = 2 se puede reescribir de la siguiente manera: 3 * 3m + 3z + 1m = 2. Conviértalo: 3 (3m + z) + 1m = 2. Introducimos una nueva variable n = 3m + z. Ahora tenemos la ecuación: 3n + 1m = 2.

¡Hurra! ¡Tenemos una ecuación con un coeficiente de uno!

m = 2-3n, yn puede ser cualquier número. Sin embargo, necesitamos encontrar x e y. Reemplazamos las variables en el orden inverso. Recuerde, debemos expresar x e y en términos de n, que puede ser cualquier número.

y = z-m, z = n-3m, m = 2-3n ⇒ z = n-3 * (2-3n), y = n-3 * (2-3n) - (2-3n) = 13n-8, y = 13n-8

x = 2y + z ⇒ x = 2 (13n-8) + (n-3 * (2-3n)) = 36n-22, x = 36n-22

Deje n = 5. Entonces y = 57, x = 158. 13*(158)-36 * (57)=2

Sí, no es muy fácil de entender, ¡pero ahora siempre puede resolver en términos generales las tareas que se resuelven mediante la selección!

Desafío de la pata

Condiciones

Las gallinas y los conejos están sentados en una jaula. En total, tienen 20 patas. ¿Cuántas gallinas puede haber y cuántos conejos puede haber?

Solución

Tengamos x pollos y y conejos. Componemos la ecuación: 2x + 4y = 20. Reduzca ambos lados de la ecuación en dos: x + 2y = 10. Por lo tanto, x = 10-2y, donde x e y son enteros positivos.

La respuesta

El número de conejos y gallinas: (1, 8), (2, 6), (3, 4), (4, 2), (5, 0)

De acuerdo, resultó más rápido que resolver "dejar que un conejo se siente en la jaula. "

El problema de las monedas.

Condiciones

Una vendedora solo tenía monedas de cinco y dos rublos. ¿De cuántas maneras puede obtener 57 rublos por cambio?

Solución

Tengamos x monedas de dos rublos yy monedas de cinco rublos. Componemos la ecuación: 2x + 5y = 57. Transforma la ecuación: 2 (x + 2y) + y = 57. Deje z = x + 2y. Entonces 2z + y = 57. Por lo tanto y = 57-2z, x = z-2y = z-2 (57-2z) ⇒ x = 5z-114. Tenga en cuenta que la variable z no puede ser menor que 23 (de lo contrario x, el número de monedas de dos rublos será negativo) y mayor que 28 (de lo contrario y, el número de monedas de cinco rublos será negativo). Todos los valores del 23 al 28 son adecuados para nosotros.

Mira el video: Matemáticas Discretas - Ecuaciones Diofánticas (Diciembre 2019).